Logika (2)

F. Implikasi Logika

Implikasi adalah operasi logika “ jika … maka…”, symbol : => , Suatu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan “jika..maka…” akan bernilai salah , jika pernyataan pertama bernilai benar dan pernyataan kedua bernilai salah. Sedang lainnya bernilai benar.

Misalnya, Elzan berjanji pada Gusrayani, “Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton.

Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan dan Elzan tetap mengajak Gusrayani menonton, Gusrayani tentu merasa senang sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton, tentunya Gusrayani akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Gusrayani akan kecewa dan menganggap Elzan sebagai pembohong yang tidak menepati janjinya.

Misalkan,   p : Sore tidak hujan.

q : Elzan mengajak Gusrayani menonton.

Pernyataan “jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani nonton”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau dilambangkan dengan “p  q”. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q” disebutimplikasi.

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan  p   q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan  pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh dibawah ini.

Contoh:

Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut !

a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.

b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.

c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Jawab :

a.   Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.

Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.

b.   Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.

Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah.

c.     Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.

G. Fungsi Proposisi dan Himpunan Kebenaran

Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.

Contoh :

1.      Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.

2.      Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.

HH. Pengukur Jumlah Universal dan Eksistensial

- Universal

Contoh:

p : Semua perempuan menyukai makanan manis

ingkaran dari p adalah ~p : Tidak benar bahwa semua perempuan menyukai makanan manis, atau

~p : Ada perempuan yang tidak menyukai makanan manis

Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut.

~[ x, p(x)]   x, ~p(x)

dibaca: ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “ada x yang bukan p(x)”

- Eksistensial

Contoh: 

p : Ada anak kecil yang menyukai cokelat

ingkaran dari p adalah ~p : Tidak ada anak kecil yang menyukai cokelat, atau

~p : Semua anak kecil tidak menyukai cokelat

Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditentukan sebagai berikut.

~[ x, p(x)]    x, ~p(x)

dibaca: ingkaran dari “ada x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x bukan p(x)”

I. Negasi Ingkaran dan Contoh Ingkaran

Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.

Beberapa negasi suatu pernyataan dapat dilihat pada table berikut.

Tabel nilai kebenaran Negasi :

Contoh :

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut, kemudian tentukanlah nilai kebenarannya.

( 1 ) p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.

( 2 ) s : 2 + 2 = 5

( 3 ) t :  Pinguin adalah Burung

Jawab :

( 1 ) p : Ibukota Jawa Barat adalah Surabaya.

~p : Ibukota Jawa Barat Bukan Surabaya.

p bernilai S ( salah ) dan ~p bernilai B ( benar )

( 2 ) s : 2 + 2 = 5

~s : 2 + 2 ≠ 5

s bernilai S ( salah ) dan ~s bernilai B ( benar )

( 3 ) t :  Pinguin adalah burung.

~t : Pinguin bukan burung.

t bernilai B ( benar ) dan ~t bernilai S ( salah )

Logika (1)

A. Konsep dan Notasi Dasar

Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh 1

Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:

a)    13 adalah bilangan ganjil.

b)   1 + 1 = 2.

c)    8 ³ akar kuadrat dari 8 + 8.

d)   Ada monyet di bulan.

e)    Hari ini adalah hari Rabu.

f)      Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap.

g)    x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

Contoh 2

Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi

(a)     Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

(b)     Isilah gelas tersebut dengan air!

(c)     x + 3 = 8

(d)     x > 3

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….

p : 13 adalah bilangan ganjil.

q : Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap.

r : 2 + 2 = 4

1

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1.   Konjungsi (conjunction): p dan q

Notasi p Ù q,

2.   Disjungsi (disjunction): p atau q

Notasi: p Ú q

3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Notasi: ~p

p

q

p Ù q

p

q

p Ú q

p

~q

T

T

T

T

T

T

T

F

T

F

F

T

F

T

F

T

F

T

F

F

T

T

F

F

F

F

F

F

Contoh 3

Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p Ù q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p Ú q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

~p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan)

Contoh 4

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan

Nyatakan dalam bentuk simbolik:

(a)         Pemuda itu tinggi dan tampan

(b)        Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

(c)         Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan

(d)        Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan

(e)         Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan

(f)           Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

Penyelesaian:

(a)     p Ù q

(b)   p Ù ~q

(c)    ~p Ù ~q

(d)   ~(~p Ú ~q)

(e)    p Ú (~p Ù q)

(f)      ~(~p Ù ~q)

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1.	Kondisional atau implikasi : p ® q
2.	Konvers (kebalikan)	: q ® p
3.	Invers	: ~ p ® ~ q
4.	Kontraposisi	: ~ q ® ~ p

Implikasi

Konvers

Invers

Kontraposisi

p   q

~ p

~ q

p ® q

q ® p

~ p ® ~ q

~ q ® ~ p

T

T

F

F

T

T

T

T

T

F

F

T

F

T

T

F

F

T

T

F

T

F

F

T

F

F

T

T

T

T

T

T

Bikondisional (Bi-implikasi)

·         Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”

·         Notasi: p « q

p		q		p « q
T		T		T
T		F		F
F		T		F
F		F		T

B. Tabel kebenaran

Dalam logika matematika, tabel kebenaran adalah tabel dalam matematika yang digunakan untuk melihat nilai kebenaran dari suatu premis/pernyataan. Jika hasil akhir adalah benar semua (dilambangkan B, T, atau 1), maka disebut tautologi. Sedangkan jika salah semua (S, F, atau 0) disebut kontradiksi. Premis yang hasil akhirnya gabungan benar dan salah disebut kontingensi.

C. Tautologi dan Kontradiksi

- Tautologi

Tautologi merupakan suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai "benar" untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]

Contoh:

Lihat pada argumen berikut:

Jika Mamura pergi ke Jepang, maka Futaba juga pergi ke Jepang. Jika Kou pergi ke Bandung, maka Futaba pergi ke Jepang. Dengan demikian, jika Mamura pergi ke Jepang atau Kou pergi ke Bandung, maka Tini pergi ke Jepang.

Diubah ke variabel proposional:

A  Mamura pergi ke Jepang

B  Futaba pergi ke Jepang

C  Kou pergi ke Bandung

Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

(1)   A → B                                    (Premis)

(2)   C → B                                    (premis)

(3) (A V C) → B                           (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B        

A	B	C	A → B	C → B	(A → B) ʌ (C → B)	A V C	(A V C) → B
B B B B S S S S	B B S S B B S S	B S B S B S B S	B B S S B B B B	B B S B B B S B	B B S S B B S B	B B B B B S B S	B B S S B B S B	B B B B B B BB

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

 ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.      (p ʌ  ~q)  p

Pembahasan:

p	q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

2.      [(p  q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

p	q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

(1)                       (2)                   (3)                      (4)                                   (5)

Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk           [(p  q) ʌ p] p  q selalu benar

Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

a.     (p ʌ q)  q

Penyelesaian:

(p ʌ q)  q  ~(p ʌ q) v q

                         ~p v ~q v q

             ~p v T

             T .............(Tautologi)[3]

Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P	q	(p ʌ q)	(p ʌ q)  q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B T

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

b.     q  (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

                         ~q v (q v p)

                         T v p

                         T ............(Tautologi)

- - Kontradiksi

 Kebalikan dari tautologi adalah kontradiksi, yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang "salah", atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4]

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ ~A)

Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

2.      P ʌ (~p ʌ q)

Pembahasan:

p	q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).

D. Ekuivalensi Logika 

Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika, jika memilikinilai kebenaran yang sama dan dinotasikan A ≅ B.

Tabel kebenaran Ekuivalensi

P	Q	~ p	p→q	~ p v q
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

Ekuivalensi

E. Hukum Aljabar Proposisi

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:

a.       Hukum Idempoten (Idem)

• p∨p ek p
• p∧p ek p

b.      Hukum Asosiatif (As)

• (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
• (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)

c.       Hukum  Komutatif (Kom)

• p∨q ek q∨p
• p∧q ek q∧p

d.      Hukum Distributif (Dist)

• p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
• p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)

e.       Hukum Identitas (Id)

• p∨F ek p
• p∨T ek T
• p∧F ek F
• p∧T ek p

f.       Hukum Komplemen (Komp)

• p∨∼p ek T
• p∧∼p ek F
• ∼(∼p) ek p
• ∼T ek F

g.      Hukum Transposisi (Trans)

·         p⇒q ek ∼q⇒∼p

h.      Hukum Implikasi (Imp)

·         p⇒q ek ∼p∨q

i.        Hukum Ekivalensi (Eki)

• p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
• p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)

j.        Hukum Eksportasi (Eksp)

·         (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)

k.      Hukum De Morgan (DM)

• ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
• ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q