A. Konsep dan Notasi Dasar
Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.
Contoh 1
Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:
a) 13 adalah bilangan ganjil.
b) 1 + 1 = 2.
c) 8 ³ akar kuadrat dari 8 + 8.
d) Ada monyet di bulan.
e) Hari ini adalah hari Rabu.
f) Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap.
g) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.
Contoh 2
Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi
(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?
(b) Isilah gelas tersebut dengan air!
(c) x + 3 = 8
(d) x > 3
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….
p : 13 adalah bilangan ganjil.
q : Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap.
r : 2 + 2 = 4
1
1. Konjungsi (conjunction): p dan q
Notasi p Ù q,
2. Disjungsi (disjunction): p atau q
Notasi: p Ú q
3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Notasi: ~p
p
|
q
|
p Ù q
|
p
|
q
|
p Ú q
|
p
|
~q
| ||||||
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
| ||||||
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
| ||||||
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
| ||||||||
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
| ||||||||
Contoh 3
Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan
q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
p Ù q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah
p Ú q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah
~p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan)
Diketahui proposisi-proposisi berikut:
p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan
Nyatakan dalam bentuk simbolik:
(a) Pemuda itu tinggi dan tampan
(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan
(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan
(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
Penyelesaian:
(a) p Ù q
(b) p Ù ~q
(c) ~p Ù ~q
(d) ~(~p Ú ~q)
(e) p Ú (~p Ù q)
(f) ~(~p Ù ~q)
1.
|
Kondisional atau implikasi : p ® q
| |
2.
|
Konvers (kebalikan)
|
: q ® p
|
3.
|
Invers
|
: ~ p ® ~ q
|
4.
|
Kontraposisi
|
: ~ q ® ~ p
|
Implikasi
|
Konvers
|
Invers
|
Kontraposisi
| |||||||||
p q
|
~ p
|
~ q
|
p ® q
|
q ® p
|
~ p ® ~ q
|
~ q ® ~ p
| ||||||
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
| |||||
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
F
| |||||
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
| |||||
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
|
T
| |||||
Bikondisional (Bi-implikasi)
· Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”
· Notasi: p « q
p
|
q
|
p « q
| ||||
T
|
T
|
T
| ||||
T
|
F
|
F
| ||||
F
|
T
|
F
| ||||
F
|
F
|
T
| ||||
B. Tabel kebenaran
Dalam logika matematika, tabel kebenaran adalah tabel dalam matematika yang digunakan untuk melihat nilai kebenaran dari suatu premis/pernyataan. Jika hasil akhir adalah benar semua (dilambangkan B, T, atau 1), maka disebut tautologi. Sedangkan jika salah semua (S, F, atau 0) disebut kontradiksi. Premis yang hasil akhirnya gabungan benar dan salah disebut kontingensi.
C. Tautologi dan Kontradiksi
- Tautologi
Tautologi merupakan suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai "benar" untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[1]
Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Mamura pergi ke Jepang, maka Futaba juga pergi ke Jepang. Jika Kou pergi ke Bandung, maka Futaba pergi ke Jepang. Dengan demikian, jika Mamura pergi ke Jepang atau Kou pergi ke Bandung, maka Tini pergi ke Jepang.
Diubah ke variabel proposional:
A
B
C Kou pergi ke Bandung
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1) A → B (Premis)
(2) C → B (premis)
(3) (A V C) → B (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B
A
|
B
|
C
|
A → B
|
C → B
|
(A → B) ʌ (C → B)
|
A V C
|
(A V C) → B
| |
B
B
B
B
S
S
S
S
|
B
B
S
S
B
B
S
S
|
B
S
B
S
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
B
B
|
B
B
S
B
B
B
S
B
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
S
B
S
|
B
B
S
S
B
B
S
B
|
B
B
B
B
B
B
BB
|
Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :
((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)[2].
Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:
1. (p ʌ ~q)
Pembahasan:
p
|
q
|
~q
|
(p ʌ ~q)
|
(p ʌ ~q)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S
|
B
B
B
B
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)
2. [(p
Pembahasan:
p
|
q
|
(p
|
(p
|
[(p
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
B
B
|
B
S
S
S
|
B
B
B
B
|
(1) (2) (3) (4) (5)
Berdasrkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.
Contoh:
a. (p ʌ q)
Penyelesaian:
(p ʌ q)
Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q)
Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk (p ʌ q)
P
|
q
|
(p ʌ q)
|
(p ʌ q)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
B
S
S
S
|
B
B
B
T
|
Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)
b. q
penyelesaian:
q
- - Kontradiksi
Kebalikan dari tautologi adalah kontradiksi, yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang "salah", atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.[4]
Contoh dari Kontradiksi:
1. (A ʌ ~A)
Pembahasan:
A
|
~A
|
(A ʌ ~A)
|
B
S
|
S
B
|
S
S
|
Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.
2. P ʌ (~p ʌ q)
Pembahasan:
p
|
q
|
~p
|
(~p ʌ q)
|
P ʌ (~p ʌ q)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
S
B
B
|
S
S
B
S
|
S
S
S
S
|
Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan kontradiksi dengan alasan yaitu semua pernyataan bernilai salah (F).
D. Ekuivalensi Logika
Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika, jika memilikinilai kebenaran yang sama dan dinotasikan A ≅ B.
Tabel kebenaran Ekuivalensi
P
|
Q
|
~ p
|
p→q
|
~ p v q
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
Ekuivalensi
E. Hukum Aljabar Proposisi
Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:
a. Hukum Idempoten (Idem)
- p∨p ek p
- p∧p ek p
b. Hukum Asosiatif (As)
- (p∨q)∨r ek p∨(q∨r)
- (p∧q)∧r ek p∧(q∧r)
c. Hukum Komutatif (Kom)
d. Hukum Distributif (Dist)
- p∨(q∧r) ek (p∨q)∧(p∨r)
- p∧(q∨r) ek (p∧q)∨(p∧r)
e. Hukum Identitas (Id)
- p∨F ek p
- p∨T ek T
- p∧F ek F
- p∧T ek p
f. Hukum Komplemen (Komp)
- p∨∼p ek T
- p∧∼p ek F
- ∼(∼p) ek p
- ∼T ek F
g. Hukum Transposisi (Trans)
· p⇒q ek ∼q⇒∼p
h. Hukum Implikasi (Imp)
· p⇒q ek ∼p∨q
i. Hukum Ekivalensi (Eki)
- p⇔q ek (p⇒q)∧(q⇒p)
- p⇔q ek (p∧q)∨(∼q∧∼p)
j. Hukum Eksportasi (Eksp)
· (p∧q)⇒r ek p⇒(q⇒r)
k. Hukum De Morgan (DM)
- ∼(p∨q) ek ∼p∧∼q
- ∼(p∧q) ek ∼p∨∼q
0 comments:
Post a Comment