Logika (1)

A. Konsep dan Notasi Dasar

Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.

Contoh 1

Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:

a)    13 adalah bilangan ganjil.

b)   1 + 1 = 2.

c)    8 ³ akar kuadrat dari 8 + 8.

d)   Ada monyet di bulan.

e)    Hari ini adalah hari Rabu.

f)      Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap.

g)    x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil.

Contoh 2

Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi

(a)     Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

(b)     Isilah gelas tersebut dengan air!

(c)     x + 3 = 8

(d)     x > 3

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….

p : 13 adalah bilangan ganjil.

q : Untuk sembarang bilangan bulat n ³ 0, maka 2n adalah bilangan genap.

r : 2 + 2 = 4

1

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1.   Konjungsi (conjunction): p dan q

Notasi p Ù q,

2.   Disjungsi (disjunction): p atau q

Notasi: p Ú q

3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Notasi: ~p

p

q

p Ù q

p

q

p Ú q

p

~q

T

T

T

T

T

T

T

F

T

F

F

T

F

T

F

T

F

T

F

F

T

T

F

F

F

F

F

F

Contoh 3

Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan

q : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p Ù q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p Ú q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah

~p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan)

Contoh 4

Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan

Nyatakan dalam bentuk simbolik:

(a)         Pemuda itu tinggi dan tampan

(b)        Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan

(c)         Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan

(d)        Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan

(e)         Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan

(f)           Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan

Penyelesaian:

(a)     p Ù q

(b)   p Ù ~q

(c)    ~p Ù ~q

(d)   ~(~p Ú ~q)

(e)    p Ú (~p Ù q)

(f)      ~(~p Ù ~q)

Misalkan p dan q adalah proposisi.

1.	Kondisional atau implikasi : p ® q
2.	Konvers (kebalikan)	: q ® p
3.	Invers	: ~ p ® ~ q
4.	Kontraposisi	: ~ q ® ~ p

Implikasi

Konvers

Invers

Kontraposisi

p   q

~ p

~ q

p ® q

q ® p

~ p ® ~ q

~ q ® ~ p

T

T

F

F

T

T

T

T

T

F

F

T

F

T

T

F

F

T

T

F

T

F

F

T

F

F

T

T

T

T

T

T

Bikondisional (Bi-implikasi)

·         Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q”

·         Notasi: p « q

p		q		p « q
T		T		T
T		F		F
F		T		F
F		F		T

B. Tabel kebenaran

Dalam logika matematika, tabel kebenaran adalah tabel dalam matematika yang digunakan untuk melihat nilai kebenaran dari suatu premis/pernyataan. Jika hasil akhir adalah benar semua (dilambangkan B, T, atau 1), maka disebut tautologi. Sedangkan jika salah semua (S, F, atau 0) disebut kontradiksi. Premis yang hasil akhirnya gabungan benar dan salah disebut kontingensi.

C. Tautologi dan Kontradiksi

·         Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus

·         Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Contoh 1. p Ú ~(p Ù q) adalah sebuah tautologi

p	q		p Ù q		~(p Ù q)		p Ú ~(p Ù q)
T	T		T		F		T
T	F		F		T		T
F	T		F		T		T
F	F		F		T		T

Contoh 2. (p Ù q) Ù ~(p Ú q) adalah sebuah kontradiksi

D. Ekuivalensi Logika

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “ dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika:

1.      Hukum komutatif:

p ʌ q  q ʌ p

p v q q v p

2.      Hukum asosiatif:

(p ʌ q) ʌ r  p ʌ (q ʌ r)

(p v q) v r  p v (q v r)

3.      Hukum distributif:

p ʌ (q v r)  (p ʌ q) v (p ʌ r)

p v (q ʌ r)  (p v q) ʌ (p v r)

4.      Hukum identitas:

p ʌ T  p

p v F  p

5.      Hukum ikatan (dominasi):

P v T  T

P v F  F

6.      Hukum negasi:

P v ~p  T

P ʌ ~p  F

7.      Hukum negasi ganda (involusi):

~(~p)  p

8.      Hukum idempoten:

P ʌ p  p

p v p  p

9.      Hukum de morgan:

~( p ʌ q)  ~p v ~q

~(p v q)  ~p ʌ ~q

10.   Hukum penyerapan (absorpsi):

p v (P ʌ q)  p

P ʌ (p v q)  p

11.  Hukum T dan F:

~T  F

~F  T

12.  Hukum implikasi ke and/or:

P  q  ~p v q[5]

Dengan adanya hukum-hukum diatas, penyelesaian soal-soal baik yang bersifat tautologi, kontradiksi dan ekuivalensi logika tidak hanya menggunakan tabel kebenaran namun juga bisa dengan menggunakan jalan penurunan yaitu dengan memanfaatkan 12 (dua belas) hukum-hukum ekuivalensi logika tersebut.

Dengan menggunakan prinsip-prinsip di atas, maka kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan, seperti contoh berikut:

1.      Buktikan ekuivalensi berikut: ~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  ~p

Jawab:

~(p v ~q) v (~p ʌ ~q)  (~p ʌ q) v (~p ʌ ~q)

                                     ~p ʌ (q v ~q)

                                     ~p ʌ T

                                     ~p ...........(terbukti)

2.      Tunjukkan bahwa:  ~(p v q)  (~p ʌ ~q)

Tabel kebenaran ~(p v q) dan (~p ʌ ~q) yaitu:

p	q	~p	~q	p v q	~(p v q)	(~p ʌ ~q)
B B S S	B S B S	S S B B	S B S B	B B B S	S S S B	S S S B

(1)                    (2)             (3)           (4)             (5)                   (6)                        (7)  

Dari tabel diatas pada kolomk (6) dan (7), jelas bahwa ~(p v q)  (~p ʌ ~q).

Jadi, ~(p v q)  (~p ʌ ~q). 

p	q	p Ù q	p Ú q	~(p Ú q)	(p Ù q) Ù ~(p Ú q)
T	T	T	F	F	F
T	F	F	T	F	F
F	T	F	T	F	F
F	F	F	F	T	F