Himpunan dan Bilangan (2)

D. Himpunan Bilangan dan Skemanya

Himpunan bilangan asli

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,......}

Himpunan bilangan prima

Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,....}

Himpunan bilangan cacah

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

Himpunan bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

Himpunan bilangan rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:

p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

Himpunan bilangan irasional

Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: log 2, e, Ö7

Himpunan bilangan riil

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

Himpunan bilangan imajiner

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

contoh: i, 4i, 5i

Himpunan bilangan kompleks

Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

contoh: 2-3i, 8+2

E. Bilangan Bulat dan Rill

Bilangan bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan asli ( 1, 2, 3, …), bentuk negatifnya (-1, -2, -3, …) dan bilangan nol.  Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan. Jika ditinjau dari segi nama, bilangan bulat pasti sesuatu yang bulat. Maksudnya bilangan ini adalah bilangan utuh.

Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen(bahasa Jerman untuk “bilangan”).

Sifat-sifat

Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

Contoh:

2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.

2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif

2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif

sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.

Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:

4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan bulat sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Bilangan bulat (integer) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama integer. Dalam alokasi memori, integer memerlukan 2 byte (16 bit) data di memori yang artinya dapat menampung nilai hingga 2^16. Namun karena integer didefinisikan sebagai type data signed tipe data integer hanya mampu di-assign nilai antara -32768 sampai 32767. Apa itu signed? Signed maksudnya bilangan tersebut memiliki tanda. Sebagaimana tanda – atau + di depan bilangan yang menunjukkan nilai negatif atau positif. Lalu kenapa hanya bisa menampung nilai antara -32768 hingga 32768 saja? Hal ini disebabkan karena 1 bit digunakan sebagai penanda positif/negatif. Meskipun memiliki istilah yang sama, tetapi tipe data integer pada bahasa pemrograman Visual Basic .NET, Delphi, dan Bahasa D memiliki ukuran 4 byte atau 32 bit signed sehingga dapat di-assign nilai antara -2,147,483,648 hingga 2,147,483,647.

Bilangan riil

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan angka yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah / scientific notation bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Okelah kita nggak usah meributkan perbedaan itu. Yang penting kita tahu dan mengerti maksud dari bilangan riil. Bilangan real merupakan gabungan bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilanganirasional, seperti π dan akar2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (pasti udah bisa nebak, simbol R berasal dari kata “Real”).

Sifat-sifat

Himpunan R tertutup untuk semua operasi. Artinya bilangan riil yang dioperasikan akan menghasilkan bilangan riil juga

Contoh:

2,5 x 3,7 akan menghasilkan 9,25 dimana 2,5 adalah bilangan riil, 3.7 adalah bilangan riil dan 9,25 adalah bilangan riil.

2,5 – 3,7 akan menghasilkan -1,2 dengan -1,2 adalah bilangan riil negatif (dalam kasus 2,5 – 3,5 dihasilkan nilai -1,0)

2,5 + 3,7 akan menghasilkan 6,2 dengan 6,2 adalah bilangan riil positif

2,5 / 3,7 akan menghasilkan 0,675 dimana 0,675 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.

Bisa juga bilangan bulat dibagi bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat. Sebagai contoh:

4 / 2 akan menghasilkan 2 dengan 2 adalah bilangan bulat.

Bilangan riil sebagai tipe data dalam bahasa pemrograman

Bilangan riil (real atau floating point) merupakan salah satu tipe data dasar dalam berbagai bahasa pemrograman. Contohnya dalam bahasa Pascal terdapat tipe data bernama real. Dalam alokasi memori, real memerlukan 6 byte (48 bit) data di memori. Namun karena real “juga” didefinisikan sebagai type data signed tipe data real hanya mampu di-assign nilai antara 2.9 x 10^-39 s/d 1.7 x10^38.