Relasi

A. Definisi Relasi

Relasi adalah himpunan bagian antara  A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan  A secara tunggal, dengan elemen yang  pada B.

B. Produk Cartesius dan Relasi

Produk cartesius A dengan B :

Himpunan semua pasangan terurut (a, b) untuk setiap a  A, b  B

notasi : A x B

A x B = { (x, y) | x  A, y  B }

notasi : produk cartesius A x A = A2

Contoh:

A ´ B = {(1, p), (2, p), (3, p), (1, q), (2, q), (3, q) }

B ´ A = {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (q, 1), (q, 2), (q, 3) }

Banyaknya pasangan terurut elemen A x B = 6 pasangan.

C. Penyajian Matriks Relasi dan Diagram Panah

Penyajian Relasi dengan Diagram Panah

 

  Misalkan A = {3,4,5} dan B = {2,4}.

Jika kita definisikan relasi R dari A ke B

Penyajian Relasi dengan Matriks

Relasi antara A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}

 

D. Relasi Invers

R = { (a, b) | a  A,   b  B }

R-1 = { (b, a) | b  B,   a  A}

R dalam penyajian koordinat diperoleh dengan menukar sumbu x menjadi y dan sebaliknya

Contoh:

1) R = { (1,1), (4,2), (16,4) }

maka,

R-1 = {(1,1), (2,4), (4,16) }

2) R adalah “x adalah istri dari y”

maka, inversnya adalah “ x adalah suami dari y ”

Relasi matriks dalam bentuk invers disajikan oleh matriks MT (transpose matriks M)

Contoh:

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R,

                M =

Relasi R–1, transpose terhadap matriks M,

E. Komposisi Relasi

Misalkan:  R = relasi himpunan A ke himpunan B

S = relasi dari himpunan B ke himpunan C.

S o R = {(a, c) ½ a  A, c  C, dan untuk beberapa b  B, (a, b)  R dan (b, c)  S }

Misalkan: Relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} adalah

                     R = {(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)}

                    Relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u}.

                    S = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Maka komposisi relasi R dan S adalah

S o R = {(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u) }

Komposisi relasi R dan S

F. Sifat Relasi

Misal R sebuah relasi pada himpunan A

1. Refleksi  (a,a)  R untuk a  A
2. Simetris  (a,b)  R, berlaku (b,a)  R
3. Transitif   (a,b)  R, (b,c)  R berlaku (a,c)  R
4. Anti Simetri  (a,b)  R, (b,a)  R berlaku a = b

G. Partisi

Partisi sering digunakan dalam kehidupan. Sebagai contoh, di Indonesia dipartisi (dibagi) dalam beberapa cara, yakni partisi berdasarkan kode area, wilayah, zona waktu, dan lain-lain. Setiap partisi merupakan subhimpunan tak kosong yang terdefinisi untuk saling melengkapi seluruh wilayah Indonesia tanpa saling menutupi (overlap). Pada bagian ini akan dijelaskan tentang konsep partisi suatu himpunan dan menjelaskan hubungan antara partisi dan relasi ekuivalen.

Misalkan A himpunan tak kosong. P adalah partisi dari A jika dan hanya jika P adalah himpunan dari subhimpunan A sedemikian hingga

(i)	Jika X Î P, maka X ≠ Æ.
(ii)	Jika X Î P dan Y Î P, maka X = Y atau X ∩ Y = Æ.
(iii)	⋃	= A.

W merupakan himpunan semua pekerja dalam wilayah kerja yang luas yang dipartisi dalam kelompo-kelompok kerja dengan meletakkan pemisah berupa dinding yang berbentuk bilik. Jika terdapat aturan (i) setiap bilik terdiri paling sedikit satu pekerja, (ii) tidak ada pekerja yang menempati 2 bilik yang berbeda, dan (iii) setiap pekerja harus menempati suatu bilik, maka didapat partisi W. Perhatikan bahwa pekerja bukan elemen dari partisi, setiap elemen partisi merupakan himpunan pekerja dalam sebuah bilik.

Gambar di bawah ini, W terdiri dari 6 pekerja dan partisi W terdiri atas 4 himpunan, yakni dua himpunan yang terdiri dari 2 pekerja dan dua himpunan yang terdiri dari 1 pekerja.

Contoh:

Himpunan yang terdiri 2 anggota, = {E, D}, dengan E adalah bilangan bulat

genap dan D adalah bilangan bulat ganjil, merupakan suatu partisi   . Kumpulan

beranggotakan 3: K = {   , {0}, −}, dengan   − adalah himpunan bilangan bulat

negatif juga merupakan partisi . Untuk setiap k   , Misalkan Ak = {3k, 3k + 1,

3k + 2}. Keluarga himpunan   = {Ak : k   } merupakan keluarga himpunan tak

hingga yang merupakan partisi . Beberapa anggaota   adalah A0 = {0, 1, 2}, A1 =

{3, 4, 5}, dan A−1 = {−3, −2, −1}.

Partisi lain dari adalah {…, {−3}, {−2}, {−1}, {0}, {1}, {2}, {3}, …} dan { }. Untuk sebarang himpunan tak kosong, keluarga himpunan {{x}: x  A} dan {A} adalah

partisi A.

Contoh.

Setiap n Î  , Misalkan Gn  = [n, n + 1). Kumpulan {Gn: n Î  } dari interval

setengah terbuka merupakan partisi   .

Berdasarkan definisi, suatu partisi A adalah suatu kumpulan pasangan subhimpunan tak kosong A yang saling asing, dengan operasi gabungannya adalah A. Ingat kembali bagian 2.3 mengenai definisi “pasangan saling asing”.

Contoh.

Himpunan A = {a, b, c, d, e}, keluarga himpunan C = {C₁, C₂, C₃}, dengan

C₁ = {b, e}, C₂ = {a, c, d}, dan C₃ = {b, e}, merupakan partisi A, meskipun C₁ dan C₃ bukan himpuanan yang saling asing. Keluarga himpunan {C₁, C₂, C₃} yang sama seperti keluarga himpunan {C₂, C₃}.

Misalkan W himpunan dari 6 orang dan C = {biru, hijau, merah, putih}. Untuk setiap c Î C, maka B = {x Î W : x penggunaan pakaian berwarna c}. Misalkan B = {B_biru, B_hijau, B_merah, B_putih}. Keluarga himpunan B mungkin bukan partisi dari W karena sebarang tiga bagian yang didefinisikan mungkin dilanggar. Jika tidak ada seorangpun yang memakai warna merah, maka B_merah adalah himpunan kosong. Dengan demikian kondisi (i) tidak terpenuhi. Jika seseorang hanya memakai warna hijau, saat orang kedau menggunakan warna hijau dan biru, maka himpunan B_biru dan B_hijau saling tumpang tidih, dalam hal ini merupakan pelanggaran kondisi (ii). Jika seseorang hanya menggunakan warna kuning, maka orang tersebut tidak termasuk dalam himpunan B, hal ini merupakan pelanggaran kondisi (iii).

Salah satu hubungan antara partisi dan relasi ekuivalen adalah : Setiap relasi ekuivalen suatu himpunan menentukan suatu patisi dari himpunan tersebut.